41pro.ru

Уроки и образование
10 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Целевое программирование онлайн

Калькулятор симплекс-метода

Выполнено действий: 5

Как пользоваться калькулятором

  • Задайте количество переменных и ограничений
  • Введите коэффициенты целевой функции
  • Введите коэффициенты ограничений и выберите условия (≤, = или ≥)
  • Выберите тип решения
  • Нажмите кнопку «Решить»

Что умеет калькулятор симплекс-метода

  • Решает основную задачу линейного программирования
  • Позволяет получить решение с помощью основного симплекс-метода и метода искусственного базиса
  • Работает с произвольным количеством переменных и ограничений

Что такое симплекс-метод

Задача линейного программирования — это задача поиска неотрицательных значений параметров, на которых заданная линейная функция достигает своего максимума или минимума при заданных линейных ограничениях.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Алгоритм является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования.

Если вам тоже ничего не понятно из этого определения, то вы на верном пути. Чаще всего статьи про симплекс-метод очень сильно углубляются в дебри теории задачи линейного программирования, из-за чего очень легко потерять суть и так ничего и не понять. Мы постараемся описать алгоритм симплекс-метода так, чтобы показать, что в нём нет ничего страшного и на самом деле он весьма простой. Но сначала нам всё-таки потребуется ввести несколько определений.

Целевая функция — функция, максимум (или минимум) которой нужно найти. Представляет собой сумму произведений коэффициентов на значения переменных: F = c1·x1 + c2·x2 + . + cn·xn

Ограничение — условие вида a1·x1 + a2·x2 + . + an·xn v b , где вместо v ставится один из знаков: ≤, = или ≥

План — произвольный набор значений переменных x1 . xn.

Алгоритм решения основной задачи ЛП симплекс-методом

Пусть в задаче есть m ограничений, а целевая функция заивисит от n основных переменных. Первым делом необходимо привести все ограничения к каноническому виду — виду, в котором все условия задаются равенствами. Для этого предварительно все неравенства с ≥ умножаются на -1, для получения неравенств с ≤.

Чтобы привести ограничения с неравенствами к каноническому виду, для каждого ограничения вводят переменную, называемую дополнительной с коэффициентом 1. В ответе эти переменные учитываться не будут, однако сильно упростят начальные вычисления. При этом дополнительные переменные являются базисными, а потому могут быть использованы для формирования начального опорного решения.

Формирование начального базиса

После того как задача приведена к каноническому виду, необходимо найти начальный базис для формирования первого опорного решения. Если в процессе приведения были добавлены дополнительные переменные, то они становятся базисными.

Иначе необходимо выделить среди коэффициентов ограничений столбец, который участвует в формировании единичной матрицы в заданной строке (например, если требуется определить вторую базисную переменную, то необходимо искать столбец, в котором второе число равно 1, а остальные равны нулю). Если такой столбец найден, то переменная, соответствующая этому столбцу, становится базисной.

В противном случае можно поискать столбец, в котором все значения кроме числа в заданной строке равны нулю, и, если он будет найден, то разделить все значения строки на число, стоящее на пересечении этих строки и столбца, тем самым образовав столбец, участвующий в формировании единичной матрицы.

Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x6
Столбец 4 является частью единичной матрицы. Переменная x4 входит в начальный базис
В пятом столбце все значения кроме третьего равны нулю. Поэтому в качестве третьей базисной переменной берём x5 , предварительно разделив третью строку на 2.
Симплекс-таблица

25 бесплатных онлайн-курсов программирования для обучения с нуля

Осваивайте популярные языки не выходя из дома и в удобном для вас темпе.

Java Programming For Complete Beginners

Вводный курс по Java, рассчитанный на новичков без опыта в программировании. Содержит материалы, которые помогут освоить основы языка, и практические задания для закрепления навыков в написании простых программ.

Learn to Program in Java

Начальный курс для всех, хочет изучить язык программирования Java и стать разработчиком. Процесс построен таким образом, что слушатели научатся не только писать код, но и решать проблемы, с которыми неизбежно придётся столкнуться при создании приложений.

Java. Быстрый старт

Практический курс по изучению Java на базе разработки небольшого проекта. Студенты научатся основам языка и потренируются в написании простых консольных приложений, а также узнают, как за несколько минут создать игру с графическим интерфейсом без применения сторонних библиотек.

Java. Базовый курс

Курс для тех, кто только начинает изучать Java. Лекции содержат материал, охватывающий синтаксис языка, компиляцию программ, основы объектно‑ориентированного программирования и более сложные аспекты Java, а также контрольные вопросы и практические задания.

Android. Быстрый старт

Практический онлайн‑курс для ознакомления с разработкой под Android, требующий базовых знаний Java. В ходе обучения слушатели создадут простую игру, сразу же применяя полученные теоретические знания в деле.

JavaScript

JavaScript для начинающих

Курс по основам разработки на JavaScript, рассчитанный на любой уровень подготовки. Рассматриваются азы программирования на этом языке, а также инструменты и модели данных, которые пригодятся для применения JavaScript на практике.

Основы JavaScript

Очень подробный онлайн‑курс, который поможет изучить JavaScript, начиная с самых азов. Слушатели рассмотрят все аспекты популярного языка программирования от простого к сложному и научатся использовать его на реальных примерах.

Python

Основы языка Python

Этот вводный курс подойдёт как начинающим, так и опытным разработчикам, которые хотят познакомиться с Python. На занятиях рассматриваются основы программирования, различные примеры применения языка для решения практических задач и пишутся полноценные программы.

Программирование на Python

Подробный начальный онлайн‑курс для изучения основ Python и базовых аспектов программирования, ориентированный на людей без опыта. Слушатели познакомятся с такими понятиями, как операторы, переменные, списки, условия и циклы. Среди материалов есть обычные упражнения и необязательные задачи повышенной сложности.

Python: основы и применение

Базовый курс, посвящённый основам Python и программирования в целом. Содержит упражнения для закрепления материала, которые проверяются с указанием ошибок. В заключительной части рассматриваются реальные задачи, с которыми можно столкнуться в разработке, и даются примеры их решения.

Интерактивные уроки по Python

Подборка интерактивных уроков для всех, кто хочет освоить Python, независимо от уровня подготовки. Шаг за шагом рассматриваются такие азы, как переменные и циклы, а затем более продвинутые вещи вроде регулярных выражений и инспекции кода.

Machine Learning with Python: A Practical Introduction

Вводный онлайн‑курс по основам машинного обучения на Python, который познакомит с различными видами моделирования. Слушатели освоят классификацию, кластеризацию и другие популярные алгоритмы, а также подкрепят полученные теоретические знания практическими навыками.

Введение в программирование (C++)

Базовый курс, который познакомит с основами C++ и поможет прибрести опыт, необходимый для более углублённого изучения программирования. Процесс обучения построен на выполнении множества небольших практических задач, охватывающих все основные конструкции языка.

Introduction to C++

Краткий вводный курс в C++ от экспертов Microsoft. На занятиях студенты освоят синтаксис и базовые принципы этого языка программирования, научатся создавать функции и подготовятся к изучению более сложных аспектов C++.

Основы C++

Рассчитанный на новичков онлайн‑курс, который посвящён основам языка C++. Охватывает базовые элементы и азы объектно‑ориентированного программирования с примерами и заданиями. Заключительная часть отводится практическому применению полученных навыков.

Программирование на языке C++

Подробный базовый курс по C++, в котором особое внимание уделено основным принципам работы программ и процессу компиляции. Синтаксические конструкции рассматриваются лишь на первой лекции, поэтому слушатели должны быть знакомы с понятиями «переменная», «функция», «цикл».

Углублённое программирование на C/C++

Ориентированный на начинающих разработчиков онлайн‑курс, который предполагает знание основ C++. Материалы помогут приобрести навыки создания программ средней сложности и типовых шаблонов объектно‑ориентированного программирования. Также рассматриваются ключевые аспекты работы с памятью, асинхронные вычисления и диалекты.

C++ Programming — Advanced Features

Более сложный онлайн‑курс, в котором студенты научатся создавать быстрые программы, используя продвинутые возможности C++. Всего за несколько часов лекторы объяснят ключевые расширенные функции этого языка, которые будут закреплены практическими занятиями.

Objective‑C

Become an iOS Developer from Scratch

Обширный и детальный курс, который является пошаговым руководством для всех, кто хочет с нуля освоить Objective‑C и научиться создавать программы для iPhone. В ходе обучения слушатели ознакомятся с пакетом iOS SDK и, применяя доступные инструменты, напишут своё первое полнофункциональное приложение.

Swift

Swift 5: Основы

Очень подробный онлайн‑курс, который подойдёт для новичков без каких‑либо предварительных знаний. В материалы включены основы теории программирования, переменные и константы, циклы и условные конструкции, а также объектно- и протокол‑ориентированное программирование.

Intro to iOS App Development with Swift

Практический онлайн‑курс для тех, кто уже владеет основами, который познакомит с разработкой под iOS на Swift. Слушатели изучат все нюансы этого языка программирования и создадут забавное приложение, искажающее голос (звучит как у бурундука или Дарта Вейдера).

Читать еще:  Онлайн школы программирования

Веб‑разработка

Веб‑разработка. Быстрый старт

Комбинированный курс для тех, кто хочет научиться создавать функциональные сайты с нуля. Слушатели познакомятся с основами HTML и CSS, получат начальные навыки веб‑разработки на PHP, а также освоят логику работы с этим языком, его терминологию и принципы функционирования.

Основы SQL для начинающих

Вводный онлайн‑курс, который откроет основы SQL. На лекциях слушатели узнают, что такое системы управления базами данных, и научатся использовать SQLite, MySQL и другие необходимые для работы инструменты.

PHP базовый курс

Подробный онлайн‑курс для всех желающих освоить веб‑программирование с нуля. На занятиях рассматриваются базовые принципы языка и проблемы, с которыми придётся столкнуться. После завершения программы студенты смогут самостоятельно делать несложные сайты.

Beginner PHP and MySQL Tutorial

Объёмный курс для начинающих программистов, охватывающий все аспекты PHP и MySQL. Обучение построено таким образом, что по окончании занятий можно смело браться за разработку функциональных веб‑приложений.

Как правильно изучать программирование: метод Франклина

Главная проблема в самообучении — отсутствие системного подхода. Трудно понять, что учить в первую очередь, а что во вторую, и в каком порядке.

Если вам нравится узнавать новое, наводить порядок в хаосе с помощью продуманных инструкций, заставлять технику выполнять команды — значит программирование точно для вас. Чтобы начать путь и избежать сложностей самообучения, достаточно записаться на курс «Профессия веб-разработчик».

Талант программиста можно заметить в человеке, который не написал ни строчки кода. Это человек, который любит головоломки. И первая головоломка — как правильно изучать программирование самостоятельно.

Анатолий Ализар

Пишет про разработку в Skillbox. Работал главным редактором сайта «Хабрахабр», ведет корпоративные блоги.

Самообучение

Путь самоучки — это «метод тыка», общение на форумах, поиск единомышленников, хождение по конференциям и тусовкам-митапам. Это такой путь самурая. Путь подходит не каждому. Поэтому для широких масс выпустили кучу самоучителей — тысячи книг, похожих друг на друга как близнецы.

Самоучитель хорош тем, что быстро погружает в тему. Вы начнете кодить практически в тот день, когда открыли книжку. Но, как говорит преподаватель Джеймс Коппел из Массачусетского технологического института, есть одна проблема: эти книги ничему не учат. Главное там — длинные листинги кода, которые читатель должен воспроизвести.

Как и в конспектах университетских лекций, «код переходит со страницы книги на экран читателя, минуя мозг». Студенты, которые слушают обычные лекции, на 55% чаще проваливают экзамен, чем те, кто участвовал в обсуждении материала, пусть даже немного.

Метод Франклинa

Чтобы извлечь какую-то пользу из самоучителей или лекций, некоторые специалисты рекомендуют выполнять практические задания особым методом. Его можно назвать методом Франклина.

Этот метод очень прост на практике.

  1. Читать книгу как обычно. Когда попадётся образец кода, прочитать его.
  2. Закрыть книгу.
  3. Попробовать набрать код.
  4. Повторить пункты 1−3.

Суть в том, чтобы усваивать мысленные образы — структуры данных, чувствительные к распространению. В этом случае мозг работает по принципу автокодировщика в машинном обучении.

«Автокодировщик — нейронная сеть, что пытается воспроизвести на выходе такие же данные, как и на входе, но с прохождением через промежуточный слой, который слишком мал, чтобы полностью представлять данные. В ходе этой процедуры он учит более компактную репрезентацию данных. Здесь в качестве нейронной сети выступает скопление дендритов в вашей голове», — пишет Джеймс Коппел.

Лекции и литература

Освоив метод Франклина, ищите информацию, которая бесплатно доступна в интернете в огромном количестве, особенно на английском языке. Вкратце план действий такой:

  1. Выучить английский язык (хотя можно найти немало курсов и на русском языке).
  2. Выбрать программу обучения. Определиться, какое направление программирования наиболее интересно.
  3. Найти учебные материалы по этому предмету.

Образовательные ресурсы с курсами и лекциями

  • MIT OpenCourseWare: обучающие курсы, видеозаписи лекций и семинаров Массачусетского технологического института.
  • KhanAcademy: бесплатные лекции, в том числе по математике и информатике.
  • Coursera: курсы от ведущих западных университетов.
  • Статьи по программированию от Skillbox.

Учебная литература

  • Список бесплатных книг по программированию (англ. яз.).
  • Сборник учебной литературы для программиста.
  • Бесплатные книги по программированию на русском и английском.
  • Подборка бесплатных книг.

Самоучители для начинающих

  • Занимательное программирование. Самоучитель. М. Мозговой.
  • C# для школьников. Учебное пособие. М. Драйер.
  • Программирование на Java для детей, родителей, дедушек и бабушек. Я. Файн.

Самообучение для неподготовленного человека не так эффективно, как отработанные методики передачи знаний и навыков, которые гарантируют качественный результат без особых затрат. Тратить силы и время всё равно придется, но не в таком фанатичном режиме, как у самоучек.

Программа обучения. Системный подход

В отличие от отдельных курсов, системная программа обучения предполагает обучение с нуля до трудоустройства джуниор-разработчиком. В этом случае ученик получает комплексные знания, необходимые для профессиональной работы.

Программа обучения «Профессия веб-разработчик» рассчитана на один год и включает в себя три модуля:

Веб-разработчик

Практический годовой курс для тех, кто хочет стать профессиональным веб-разработчиком, запустить свой интернет-проект или веб-сервис и получить первые заказы на разработку.

JavaScript с нуля

Практический курс для тех, кто хочет научиться основам языка сценариев с индивидуальным наставником, разработать frontend для интерактивного веб-проекта и положить кейс к себе в портфолио.

Базовые навыки PHP

Курс, на котором вы познакомитесь с базовыми понятиями программирования и поймёте главные принципы. Научитесь писать чистый, структурированный, а самое главное — работающий код. Уже после первого курса сделаете свой первый сайт на PHP.

Система платная, но зато она повышает шансы на успешный результат. А результат — это престижная, востребованная и высокооплачиваемая профессия с интересными проектами и перспективами развития.

Заключение

С чего начать учить программирование, каждый решает сам. И каждый выбирает свой путь. Но главное, что после окончания этого пути вам точно не придется просыпаться с рассветом и идти на завод к первому звонку.

Решение задач линейного программирования графическим методом

Описание метода

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Читать еще:  Обучение 1с программированию с нуля курсы онлайн

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида — 10 м, третьего вида — 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В — 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Пример отсутствия решения

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 08-08-2016

Метод симплекса для чайников — описание с примером подробного решения

Понятие и алгоритм

Под симплексным методом понимается последовательный переход от одного базисного нахождения системы решений к другому. Эта перестановка повторяется до тех пор, пока переменная величина цели не достигнет своего наибольшего или наименьшего значения. Такой подход является универсальным, его можно использовать для решения любой задачи последовательного программирования.

Метод был разработан в 1947 году математиком из США Бернардом Данцигом. Предложенный способ оказался весьма эффективным для решения задач, связанных с оптимизацией использования ограниченных ресурсов. То есть он позволяет оценить и откорректировать параметры системы, а также получить качественные аналитические результаты.

Существует два подхода решения задачи:

Первый можно использовать для оптимизационного решения двухмерных задач. Например, существует два производственных цикла по сборке ящиков. Выпуск товара характеризуется ограничением в поставках древесины и временем формовки изделия. Для одного необходимо 30 досок, а для другого — 40. Поставщики доставляют в неделю 2 тыс. единиц материала. Первый ящик собирается за 15 минут, а второй — за 30. Нужно определить, какое количество ящиков необходимо производить за неделю на первом конвейере и на втором. При этом первое изделие приносит 10 рублей прибыли, а второе — пять. Время изготовление ограничено 160 часами.

Решение заключается в принятии за Х1 и Х2 количество выпущенных ящиков. Затем — в нахождении максимальной еженедельной прибыли и описании процесса ограничения в виде уравнения.

Это типовая двухмерная задача, условия неотрицательности которой определяются границами прямых: 30*Х1 + 4 0*Х 2 ≤ 2000 (для досок) и 20*Х 1 ≤ 50*Х 2 = 1600 (для сборки). Отложив по оси ординат Х1, а Х2 по абсцисс, и указав на них точки соответствующие уравнениям, можно будет подобрать оптимальное решение для использования сырья и времени.

Читать еще:  Программа для создания презентации онлайн

Графический метод удобно применять для двухмерных задач, но его невозможно использовать при решениях, связанных с размерностью, превышающей три. При этом во всех алгоритмах оптимальный результат принимается допустимым базисному. Симплекс-метод же является вычислительной процедурой, использующей принятое положение, описываемое в алгебраической форме.

Симплекс-метод при базисном решении

Впервые способ был изложен Данцигом в книге «Линейное программирование, его обобщения и применения», изданной на русском языке в 1966 году. Эта теория основывалась на вычислительной процедуре и представлялась в виде стандартных алгебраических форм. Основное направление метода заключается в указании способа нахождения опорного решения, переходе к другому, более оптимальному расчёту и определении критериев, позволяющих остановить перебор опорных вариантов.

Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс методом следующий:

  1. Свести поставленную задачу к канонической форме путём переноса свободных членов в правую часть и ввода дополнительных переменных. В случае отрицательных переменных неравенство умножается на -1. Если в записи используется знак «меньше или равно», переменная используется положительная, в противном случае — отрицательная.
  2. В зависимости от количества вводимых значений все переменные принимаются за основные. Их необходимо выразить через неосновные и перейти к базовому решению.
  3. Через неосновные переменные выражается функция цели.
  4. Если при решении отыскивается ответ с максимумом или минимумом линейной формы и все неосновные переменные получаются только положительными, то задача считается выполненной.
  5. Если найденный максимум (минимум) линейной формы в функции имеет одну или несколько неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, необходимо перейти к новому базисному решению.
  6. Из переменных, входящих в форму с отрицательными или положительными коэффициентами, выбирается наибольшая (по модулю) и переводится в основные.

Другими словами, указывается оптимальное опорное решение, способ перехода от одного нахождения ответа к другому, варианты улучшения расчётов. После нахождения первоначального решения с «единичным базисом» вычисляется оценка разложения векторов по базису и заполняется симплексная таблица.

В тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи, используют метод с искусственным базисом. Это симплекс-метод с так называемой М-задачей (ММЭ), решаемый способом добавления к левой части системы уравнений искусственных единичных векторов. При этом новая матрица должна содержать группу единичных линейно-независимых векторов.

Двухфазный способ

Двойственный метод используется при анализе задач линейного программирования, записанного в форме основной задачи. При этом среди векторов, m уравнений, составленных из коэффициентов, должны быть единичные. Такой метод можно использовать, когда свободные члены уравнений являются любыми числами.

Например, существует ограниченность, описываемая функцией:

F = C 1 X 1+ C 2 X 2+…+ CnXn. Используется условие, что Х1Р1+Х2Р2+…+Х(m +1) P (m +1)+ +… XnPn = Р0, где Х j больше либо равно 0 (j =1, n). Принимается, что среди чисел bi (i =1, m) имеются отрицательные.

Решением будет выражение: х= (b1; b2;…; bm ;0;…;0), однако этот ответ не будет разрешать задание, так как к нему могут относиться и отрицательные числа. Так как векторы Р1, Р2… Рм единичные, то каждый из них можно описать линейной областью, состоящей из них же. При этом коэффициентами разложения векторов Рj по области будут числа: Xij = aij (i =1, m; j =1, n) по модулю.

Выражение х= ( b1; b2;…; bm ;0;…;0) определяется базисом. Называют его псевдоплан. Считается, что если дельта j больше либо равна нулю, то для любого: j ( j =1, n ) по модулю. В то же время если в псевдоплане с находимым базисом существует хотя бы одно отрицательное число, то тогда задача вообще не будет иметь планов. Но когда для этих отрицательных чисел верно, что аij меньше нуля, то можно будет перейти к новому псевдоплану.

Объяснение псевдоплана помогает построить алгоритм двойственного метода. Если взять за основу х = (b1; b2;…; bm ;0;…;0) и представить это выражение псевдопланом, то, учитывая исходные данные, можно составить симплекс-таблицу. В ней часть элементов будет отрицательная. Так как дельта j должна быть больше либо равна нулю, то при отсутствии таких чисел в таблице уже будет записан оптимальный план. В обратном случае выбирается по модулю наибольшее из чисел с минусом.

Принцип решения задачи включает следующее:

  • нахождение псевдоплана;
  • проверка его на оптимальность;
  • выбор разрешающей строки путём нахождения абсолютной величины отрицательного числа, отношения элементов (m+1) и соответствующей им строке;
  • нахождение нового псевдоплана.

Если анализ оптимален, считается, что найдено верное решение. В другом случае устанавливается неразрешимость задачи либо составляется новый псевдоплан. Делается это в результате пересчёта табличных данных, например, методом Жордана-Гаусса.

Пример задачи

Использование метода линейного программирования распространено в решениях транспортных задач. Он помогает в целевых расчётах и нужен для минимизации затрат в условиях ограниченной грузоподъёмности и времени обслуживания заказчиков.

Задачи линейного программирования (ЗЛП) позволяют выбрать оптимальную загрузку при перемещении какого-либо товара из одних мест в другие. Во вводных данных указывается число пунктов отправления (м) и количество мест назначения (n). Первые обозначаются как А1, А2…Ам, а вторые – В1, В2…Вn. За аi принимается объём продукции на складе, а bi – потребность. Затраты на перевозку с i пункта в j обозначаются Сij.

Главная задача — составить план таким образом, чтобы общая стоимость была минимальна. Пусть дано четыре песчаных карьера, с которых необходимо поставить песок на четыре склада. При этом осуществляться перевозки должны за определённую стоимость. Составляем таблицу.

Записываем уравнение ограничения. Сумма всего перевезённого песка с первого карьера должна быть меньше или равна 140. Поэтому можно записать: x11+x12+x12+x14+T1 = 140, где Т1 переменная для хранения остатка. Сумма ограничений будет записана как х11+х21+х31 =115. Аналогичные уравнения составляют и для оставшихся карьеров.

Теперь формируют матрицу, на основании которой с помощью свойства матриц ищется единичный базис. Например, вычесть из одной строки другую. Все отрицательные значения последнего столбца убирают. Для этого из каждой строки вычитают наименьшее значение, а последнее отрицательное число умножают на -1. Теперь составляют подробную симплекс-таблицу, где:

  • A0 – последний столбец из матрицы;
  • Сб – стоимость перевозок;
  • Х11, Т3 – данные из полученной матрица.

В последней строчке прямоугольника проставляют сумму произведений Сб на этот столбец и вычитают значение суммы перемножения Сб с А0. Делают дополнительное вычисление. Для каждой строки А0 делят на выделенное число, ищут наименьший результат и умножают его на положительные числа из последней строки.

Наибольшее число определяется пересечением ранее выбранных значений, на базе которых создают новый базис. После в соответствии с единичными базисами меняют Сб и Хб. Операцию повторяют до тех пор, пока не исчезнут все положительные числа из последней строки. Заполняют новую таблицу.

Расчёт в Excel

Для включения пакета анализа в программе необходимо перейти в раздел «Параметры» и выбрать строчку «Перейти». В новом окне найти строчку «Пакет анализа», кликнуть по ней и нажать кнопку ОК.

Затем понадобится загрузить и открыть шаблон для проверки в Excel. Используя манипулятор типа «мышь» или клавиатуру, выбрать ячейку G4 и выполнить команду «Сервис/Поиск решения». Далее указать исходные данные, а после нажать кнопку «Выполнить».

Полученное решение можно представить в форме отчёта, содержащего:

  1. Результаты – содержит информацию об исходных и конечных значениях целевой и влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.
  2. Устойчивость — отчёт, включающий данные о чувствительности решения к малым изменениям.
  3. Пределы – включают исходные и конечные значения, а также верхние и нижние границы значений, которые принимают влияющие ячейки при введённых ограничениях.

Онлайн-сервис для чайников

Метод решения относится к высшей математике, поэтому в нём довольно трудно разобраться даже подготовленному человеку, не говоря уже о чайнике. Существует некоторое количество сайтов с подробным онлайн-решением методом симплекса. На таких сервисах предлагается ввести количество переменных и строк (ограничений). А далее просто заполнить симплекс-таблицу и нажать расчёт. Причём при необходимости вводимые данные можно править, тем самым видеть, как изменяется результат от изменения исходной информации.

Удобным является ещё и то, что обычно на сайтах предлагается создать шаблон решения в Excel или Maple. Решаться любая задача будет почти мгновенно. Подробно можно выполнить расчёт онлайн-калькулятор по методу симплекса на следующих сайтах:

  1. «Семестр» (semestr.ru).
  2. «Мир математики» (matworld.ru).
  3. «Высшая математика» (math-pr.com).
  4. «Матзона» (mathzone.ru).
  5. «Контрольная работа» (kontrolnaya-rabota.ru).

Выполнить расчёт с помощью онлайн-сервисов сможет любой. При этом вероятность ошибки в ответе стремится к нулю. Тем более что для решения задачи даже необязательно знать принцип симплекс-метода.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector